Banyak siswa yang mempelajari matematika lanjutan dalam kursus lanjutan mungkin bertanya-tanya: di mana persamaan diferensial (DE) digunakan dalam praktik? Sebagai aturan, masalah ini tidak dibahas di kuliah, dan guru segera melanjutkan ke solusi teori kontrol tanpa menjelaskan kepada siswa penggunaan persamaan diferensial dalam kehidupan nyata. Kami akan mencoba mengisi celah ini.
Kita mulai dengan mendefinisikan persamaan diferensial. Jadi, persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan nilai fungsi turunan dengan fungsi itu sendiri, nilai-nilai variabel independen dan beberapa angka (parameter).
Area yang paling umum di mana persamaan diferensial diterapkan adalah deskripsi matematis dari fenomena alam. Mereka juga digunakan dalam memecahkan masalah di mana tidak mungkin untuk membangun hubungan langsung antara beberapa nilai yang menggambarkan suatu proses. Tugas semacam itu muncul dalam biologi, fisika, dan ekonomi.
Dalam biologi:
Model matematika substansial pertama yang menggambarkan komunitas biologis adalah model Lotka-Volterra. Ini menggambarkan populasi dua spesies yang berinteraksi. Yang pertama dari mereka, yang disebut predator, mati menurut hukum x '= –ax (a> 0) tanpa adanya yang kedua, dan yang kedua, korban, dengan tidak adanya predator berkembang biak tanpa batas sesuai dengan hukum Malthus. Interaksi kedua spesies ini dimodelkan sebagai berikut. Korban mati pada tingkat yang sama dengan jumlah pertemuan predator dan korban, yang dalam model ini diasumsikan sebanding dengan jumlah kedua populasi, yaitu sama dengan dxy (d> 0). Karenanya, y '= by-dxy. Predator mereproduksi pada tingkat yang sebanding dengan jumlah mangsa yang dimakan: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistem persamaan
x '= –ax + cxy, (1)
y '= oleh - dxy, (2)
menggambarkan populasi seperti itu, predator adalah mangsa dan disebut sistem Trays - Volterra (atau model).
Dalam fisika:
Hukum kedua Newton dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), di mana m adalah massa tubuh, x adalah koordinatnya, F (x, t) adalah gaya yang bekerja pada tubuh dengan koordinat x pada waktu t. Solusinya adalah lintasan tubuh di bawah aksi kekuatan yang ditunjukkan.
